Minggu, 01 April 2012

Matematika : Definisi dan Operasi Vektor

BAB I VEKTOR DEFINISI VEKTOR Pada pelajaran fisika, kita telah memperlajari mengenai besaran. Besaran dibagi menjadi dua, yaitu besaran saklar dan besaran vektor. Besaran saklar dinyatakan dalam sebuah ukuran dengan menggunakan bilangan real yang disebut besarnya, disertai dengan satuan yang sesuai. Salah satu contoh besaran saklar adalah suhu tubuh manusia. Suhu merupakan besaran saklar, 50 menyatakan besarnya dan oC menyatakan satannya. Sedangkan besaran vektor, selain dinyatakan besarnya, juga dinyatakan arahnya. Misalnya perpindahan atlet dari posisi start sampai ke finisih sejauh 100 meter dalam suatu perlombaan lari merupakan besaran vektor.Secara geometri, suatu vektor dapat dinyatakan dengan ruas garis berarah. Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Suat vektor dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah. Nilai (besar) vektor dinyatakan dengan panjang garis dan arahnya dinyatakan dengan tanda panah. Notasi vektor biasanya dengan menggunakan tanda anak panah di atasnya atau bisa juga dengan menggunakan huruf kecil yang tebal. Misalnya: a ⃑ = (2, 3) =(■(2@3)). Maksudnya vektor tersebut 2 ke arah kanan dan 3 ke arah atas. Vektor (AB) ̅ berarti titik A seagai titik pangkal dan titik B sebagai ujung. Vektor (BA) ̅ dengan vektor (AB) ̅ besarnya (panjangnya) sama, hanya arahnya saling berlawanan. Jadi jika vektor (AB) ̅ dinyatakan dengan u ⃑ maka vektor (BA) ̅ dinyatakan dengan -u ⃑. OPERASI VEKTOR Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suat vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besarnya dan arahnya sama. Vektor Posisi Vektor posisi yaitu vektor yang posisi (letaknya) tertentu. Misalnya (AB) ̅ merupakan vektor posisi di mana pengkalnya di titik A dan ujungnya di titik B. Atau misalnya (OA) ̅ yaitu vektor posisi yang awalnya di titik pusat dan ujungnya di titik A. vektor posisi (OA) ̅,(OB) ̅,(OC) ̅ dan seterusnya biasanya diwakili oleh vektor dengan huruf kecil misalnya (a ) ⃑,b ⃑,c ⃑ dan sebagainya. Jadi (OA) ̅ = a ⃑, (OB) ̅ = b ⃑, (OC) ̅ = c ⃑. (AB) ̅= (OB) ̅- (OA) ̅= b ⃑- a ⃑. Vektor Negatif (Vektor Invers) Vektor negatif (invers) dari vektor a ⃑ sering ditulis -a ⃑ yaitu vektor yang panjangnya sama tetapi arahnya berlawanan. Perkalian Vektor dengan Saklar Jika k suat bilangan real maka ka ⃑ adalah suatu vektor yang panjangnya k kali lipat panjang a ⃑. Jika k posisi maka searah dengan a ⃑ dan jika k negatif maka berlawanan arah dengan a ⃑. Penjumlahan Vektor Penjumlahan 2 vektor dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu atran segitiga dan dengan aturan jajargenjang. Penjumlahan 2 vektor dengan aturan segitiga yaitu, dengan mempertemukan ujung vektor yang satu (a ̅) dengan awal vektor yang lain (b ̅) sehingga resultan (hasil penjumlahan vektor) kedua vektor adalah awal vektor yan satu (a ̅) ke ujung vektor yang lain (b ̅). Sedangkan penjumlahan dengan aturan jajargenjang yaitu dengan mempertemukan kedua awal vektor, kemudian membuat vektor kembarannya pada masing-masing ujung kedua vektor sehingga membentuk suatu bangun jajargenjang. Resultan kedua vektor adalah awal pertemuan kedua vektor tersebut ke ujung pertemuan ke dua vektor tersebut. Selisih Dua Vektor Selisih dua vektor a ̅ dan b ̅ ditulis a ̅- b ̅ dapat di pandang sebagai penjumlahan a ̅ dengan - b ̅ (vektor invers - b ̅) jadi, a ̅- b ̅=a ̅+ ( b ̅) . persamaannya adalah : a ̅- b ̅= (■(a_1&-&b_1@a_2&-&b_2@a_3&-&b_3 )) Contoh soal: tentukan a ̅- b ̅ jika diketahui∶ a ̅ b ̅ Jawab : a ̅ b ̅ a ̅- b ̅ BAB II CONTOH SOAL VEKTOR UJIAN NASIONAL 5 TAHUN TERAKHIR Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. 120° 90° 60° 45° 30° (Soal Ujian Nasional Tahun 2007) Jawab : (PR ) ̅ = R-P =(■(-1@0@2))-(■(0@1@4))= (■(-1@-1@-2)) (RQ ) ̅ = Q-R =(■(2@-3@2))-(■(-1@0@2))= (■(3@-3@0)) cos θ= ((PR ) ̅ . (RQ) ̅)/(|(PR) ̅ | |(RQ) ̅ | )= ((■(-1@-1@-2)) (■(3@-3@0)))/(√6 .√8) = (-3+3+0)/(6√3)=0 θ=90o Jadi, Jawabannya adalah B. 90o Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Tentukan proyeksi orthogonal (AB) ̅ pada (AC) ̅ ! a. j ̅+ k ̅ b. i ̅+ k ̅ c. –i ̅+ j ̅ d. –i ̅+ j ̅- 1/2 k e. - 1/2 –i ̅+ j ̅ (Soal Ujian Nasional Tahun 2007) Jawab: (AB ) ̅=(b ) ̅– a ̅ = (■(2@2@0))-(■(0@0@0))=(■(2@2@0)) (AC) ̅=c ̅- ( a) ̅= (■(0@2@2))-(■(0@0@0))= (■(0@2@2)) Proyeksi orthogonal : X = (a ̅ . b ̅)/( |b ̅ | (_^2) ) b ̅= ((■(2@2@0)) (■(0@2@2)))/((0^2+ 2^2+2^2 ) ) (■(0@2@2))= (0+4+0)/8 (■(0@2@2))= (■(0@1@1)) Sehingga proyeksi orthogonal (AB) ̅ pada (AC) ̅ adalah j ̅+ k ̅ Jadi, Jawabannya adalah A. j ̅+ k ̅. Diketahui |(a ) ̅ | = √2 , |( b) ̅ | = √9 , |(a ) ̅+ b ̅ |= √5. Besar sudut antara vector (a ) ̅ dan b ̅ adalah … 45o 60o 120o 135o 150o Soal Ujian Nasional tahun 2006 Jawab: |a ̅+ b ̅ | (_^2)= |a ̅ | 2 + 2|a ̅ | |b ̅ | +|b ̅ | 2 (√5) (_^2)= (√2) (_^2)+ 2 |a ̅ | |b ̅ |+(√9) (_^2) 5 = 2 + 2 |a ̅ | |b ̅ |+ 9 5 = 11 + 2 |a ̅ | |b ̅ | 2 |a ̅ | |b ̅ |=5-11 |a ̅ | |b ̅ |= -6 |a ̅ | |b ̅ |= -3 cos θ= ((a ) ̅ . b ̅)/(|a ̅ | |b ̅ | )= (-3)/(√2 .√8) = (-3)/(3√2)=-1/2 √2 θ=180-45=135o Jadi, jawabannya adalah D. 135o. Besar sudut antara a ̅ =(■(3@2@4)) dan b ̅ =(■(2@3@-3)) adalah …. 180° 90° 60° 30° 0o (Soal Ujian Nasional Tahun 2007) Jawab: cos θ= ((a ) ̅ . b ̅)/(|a ̅ | |b ̅ | )= ((■(3@2@4)) (■(2@3@-3)))/(√(29 ).√22 ) = (6+6-12)/(√(29 ).√22)=0 θ=900 Jadi, jawabannya adalah B. 90o. BAB III PREDIKSI SOAL UJIAN NASIONAL Diketahui vektor u ̅= 2i ̂ – 4j ̂ – 6k ̂ dan v ̂= 2i ̂ – 2j ̂ + 4k ̂ . Proyeksi vektor orthogonal pada adalah … –4i ̂ + 8j ̂ + 12k ̂ –4i ̂ + 4j ̂ + 8k ̂ –2i ̂ + 2j ̂ – 4k ̂ –i ̂ + 2j ̂ + 3k ̂ –i ̂ + j ̂ – 2k ̂

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar